线性代数

线性代数考前速查表

1. 矩阵理论

1.1 基本运算

• 加减：同型矩阵对应元素相加减

• 乘法：$(AB{)}_{ij}={\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$

• 转置：$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$

• 求逆：$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

1.2 行列式

• 性质：$|AB|=|A||B|,|A^T|=|A|,|kA|=k^n|A|$

• 计算：对角线法则、拉普拉斯展开、初等变换

1.3 矩阵的秩

• 定义：非零子式的最高阶数

• 性质：$\text{rank}(AB)\le \min \{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}$

1.4 矩阵方程

• $AX=B$ 的解：$X=A^{-1}B$

（当 A 可逆）

• 齐次方程 $AX=0$ 的非零解存在 $\iff |A|=0$

2. 矩阵分解

2.1 特征值和特征向量

• $Ax=\lambda x$

，其中 $\lambda$ 为特征值，$x$ 为特征向量

• 特征方程：$|\lambda I-A|=0$

2.2 特征分解

• $A=PD{P}^{-1}$

，其中 $D$ 为对角矩阵，$P$ 的列为特征向量

2.3 奇异值分解 (SVD)

• $A=U\Sigma V^T$

，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵

2.4 QR 分解

• $A=QR$

，其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是上三角矩阵

2.5 LU 分解

• $A=LU$

，其中 $L$ 是下三角矩阵，$U$ 是上三角矩阵

3. 向量空间

3.1 线性相关性

• 向量组线性相关 $\iff$ 存在非零线性组合等于零向量

3.2 基和维数

• 基：线性无关且张成整个空间的向量组
• 维数：基中向量的个数

3.3 子空间

• 核空间：$\text{Ker}(A)=\{x|Ax=0\}$

• 像空间：$\text{Im}(A)=\{y|y=Ax,x\in {\mathbb{R}}^n\}$

4. 投影和伪逆

4.1 正交投影

• $P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$

（$A$ 的列线性无关）

4.2 Moore-Penrose 伪逆

• $A^{+}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$

（$A$ 的列线性无关）

4.3 最小二乘问题

• $x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$

5. 复矩阵

5.1 Hermitian 矩阵

• $A^H=A$

，其中 $A^H$ 为共轭转置

5.2 酉矩阵

• $U^{H}U=U{U}^H=I$

6. 矩阵函数

6.1 矩阵指数

• $e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$

6.2 矩阵幂

• $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$

，其中 $D$ 是对角矩阵

7. 高级主题

7.1 Cayley-Hamilton 定理

• 每个方阵都满足其特征多项式

7.2 Jordan 标准型

• 每个方阵都相似于一个 Jordan 标准型矩阵

7.3 矩阵微分

• $\frac{d(AX)}{dX}=A^T$

• $\frac{d(X^{T}AX)}{dX}=(A+A^T)X$

重点难点提示

• 特别关注投影和伪逆的应用
• 理解并熟练运用矩阵指数
• 掌握复矩阵的基本运算
• 学会使用矩阵微分解决优化问题
• 理解并应用高级主题（如 Cayley-Hamilton 定理）