PDE

偏微分方程考前速查表

1. 基本概念

1.1 偏微分方程的阶

方程中最高阶偏导数的阶数

1.2 线性和非线性

线性 PDE：形如 $a_1{u}_{xx}+a_2{u}_{yy}+a_3{u}_x+a_4{u}_y+a_{5}u=f(x,y)$

1.3 齐次性

齐次 PDE：右端项 $f(x,y)=0$

2. PDE 的分类

2.1 二阶线性 PDE 的分类

$a{u}_{xx}+2b{u}_{xy}+c{u}_{yy}+d{u}_x+e{u}_y+fu=g$

• 双曲型：$b^2-ac>0$
• 抛物型：$b^2-ac=0$
• 椭圆型：$b^2-ac<0$

3. 分离变量法

3.1 基本步骤

1. 假设解的形式：$u(x,y)=X(x)Y(y)$
2. 代入 PDE，分离变量
3. 得到两个 ODE
4. 解 ODE 并利用边界条件确定常数

3.2 应用举例：热方程

$u_t=k{u}_{xx},0<x<L,t>0$

边界条件：$u(0,t)=u(L,t)=0$

初始条件：$u(x,0)=f(x)$

解：$u(x,t)={\sum }_{n=1}^{\infty }{B}_n\sin (\frac{n\pi x}{L})e^{-k(\frac{n\pi }{L}{)}^{2}t}$

其中 $B_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\sin (\frac{n\pi x}{L})dx$

4. 特征线法

4.1 一阶线性 PDE

形如：$a{u}_x+b{u}_y=c$

特征线方程：$\frac{dy}{dx}=\frac{b}{a}$

通解：$u=F(ax-by)+\frac{c}{a}x$，其中 $F$ 是任意函数

4.2 准线性一阶 PDE

形如：$a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=c(x,y,u)$

特征方程组：

$\frac{dx}{a}=\frac{dy}{b}=\frac{du}{c}$

5. Fourier 变换法

5.1 Fourier 变换定义

$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}dx$

5.2 应用步骤

1. 对 PDE 进行 Fourier 变换
2. 解转换后的 ODE
3. 进行逆 Fourier 变换

5.3 应用举例：热方程

$u_t=k{u}_{xx},-\infty <x<\infty ,t>0$

初始条件：$u(x,0)=f(x)$

解：$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\xi )e^{-\frac{(x-\xi {)}^2}{4kt}}d\xi$

6. Green 函数方法

6.1 Green 函数定义

对于算子 $L$，Green 函数 $G(x,\xi )$ 满足：

$LG(x,\xi )=\delta (x-\xi )$

6.2 解的表示

对于方程 $Lu=f$，解可表示为：

$u(x)={\int }_{D}G(x,\xi )f(\xi )d\xi$

7. 常见的 PDE 及其解法

7.1 波动方程

$u_{tt}=c^2{u}_{xx}$

• 分离变量法
• D’Alembert 解：$u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$

7.2 Laplace 方程

$u_{xx}+u_{yy}=0$

• 分离变量法
• Green 函数法

7.3 扩散方程 (热方程)

$u_t=k{u}_{xx}$

• 分离变量法
• Fourier 变换法

8. 非线性 PDE 简介

8.1 Burgers 方程

$u_t+u{u}_x=\nu u_{xx}$

• Cole-Hopf 变换

8.2 KdV 方程

$u_t+6u{u}_x+u_{xxx}=0$

• 行波解

重点难点提示

• 熟练掌握 PDE 的分类方法，理解不同类型 PDE 的特点
• 重点掌握分离变量法，能够应用于波动方程、热方程和 Laplace 方程
• 理解特征线方法，尤其是在求解一阶 PDE 中的应用
• 了解 Fourier 变换在求解 PDE 中的应用，特别是无界域问题
• 掌握 Green 函数的概念和基本应用
• 对于每种常见的 PDE，要熟悉其标准形式和典型解法
• 了解一些简单的非线性 PDE 及其基本性质