RL的泵引理

泵引理 (Pumping Lemma)

定义 | Definition

泵引理是用于证明某些语言不是正则语言的重要工具。

The Pumping Lemma is an important tool used to prove that certain languages are not regular.

对于任何正则语言 $L$，存在一个正整数 $p$（称为泵长度），使得对于任何字符串 $s\in L$，且 $|s|\ge p$，都存在 $x$、$y$ 和 $z$，满足：

For any regular language $L$, there exists a positive integer $p$ (called the pumping length) such that for any string $s\in L$ with $|s|\ge p$, there exist $x$, $y$, and $z$ satisfying:

1. $s=xyz$
2. $|y|>0$
3. $|xy|\le p$
4. 对于任意非负整数 $i$，$x{y}^{i}z\in L$ For all non-negative integers $i$, $x{y}^{i}z\in L$

证明步骤 | Proof Steps

要证明一个语言不是正则语言，我们通常采用反证法：

To prove that a language is not regular, we typically use proof by contradiction:

1. 假设该语言是正则的。

2. 应用泵引理。

3. 选择一个适当的字符串 $s$，其长度不小于泵长度 $p$。

4. 证明不存在满足所有泵引理条件的 $x$、$y$ 和 $z$。

5. 得出矛盾，从而证明原假设错误。

6. Assume the language is regular.

7. Apply the Pumping Lemma.

8. Choose an appropriate string $s$ with length not less than the pumping length $p$.

9. Prove that there do not exist $x$, $y$, and $z$ satisfying all conditions of the Pumping Lemma.

10. Arrive at a contradiction, thus proving the original assumption wrong.

示例：证明 $L=\{a^n{b}^n|n\ge 0\}$ 不是正则语言

Example: Proving $L=\{a^n{b}^n|n\ge 0\}$ is not regular

1. 假设 | Assumption: 假设 $L$ 是正则语言。 Assume $L$ is regular.

2. 应用泵引理 | Apply Pumping Lemma: 存在泵长度 $p>0$。 There exists a pumping length $p>0$.

3. 选择字符串 | Choose a string: 选择 $s=a^p{b}^p$，显然 $s\in L$ 且 $|s|=2p\ge p$。 Choose $s=a^p{b}^p$, clearly $s\in L$ and $|s|=2p\ge p$.

4. 分析 | Analysis: 根据泵引理，存在 $x$、$y$ 和 $z$，使得 $s=xyz$，且满足上述条件。 According to the Pumping Lemma, there exist $x$, $y$, and $z$ such that $s=xyz$, satisfying the above conditions.

   由于 $|xy|\le p$，$y$ 必须完全由 $a$ 组成。

   Since $|xy|\le p$, $y$ must consist entirely of $a$‘s.

5. 矛盾 | Contradiction: 考虑 $x{y}^{2}z$。这个字符串中 $a$ 的数量大于 $b$ 的数量，因此 $x{y}^{2}z\notin L$。 Consider $x{y}^{2}z$. This string has more $a$‘s than $b$‘s, therefore $x{y}^{2}z\notin L$.

   这与泵引理的第 4 个条件矛盾，该条件要求对于所有 $i\ge 0$，$x{y}^{i}z\in L$。

   This contradicts the 4th condition of the Pumping Lemma, which requires $x{y}^{i}z\in L$ for all $i\ge 0$.

6. 结论 | Conclusion: 我们得出矛盾，因此原假设错误。$L$ 不是正则语言。 We have arrived at a contradiction, thus the original assumption is wrong. $L$ is not regular.

选取泵 | Choosing the Pump

选取合适的字符串 $s$ 和子串 $y$ 是应用泵引理的关键步骤：

Choosing appropriate string $s$ and substring $y$ is crucial when applying the Pumping Lemma:

1. 选取 $s$ | Choosing $s$:

   • $s$ 的长度应不小于泵长度 $p$，即 $|s|\ge p$。

   • $s$ 应该是语言中的一个字符串，即 $s\in L$。

   • 选择一个能够充分体现语言特征的 $s$。对于 $\{a^n{b}^n|n\ge 0\}$，选择 $a^p{b}^p$ 是理想的，因为它恰好满足 $a$ 和 $b$ 数量相等的特征。

   • The length of $s$ should be not less than the pumping length $p$, i.e., $|s|\ge p$.

   • $s$ should be a string in the language, i.e., $s\in L$.

   • Choose an $s$ that sufficiently represents the characteristics of the language. For $\{a^n{b}^n|n\ge 0\}$, choosing $a^p{b}^p$ is ideal as it exactly meets the characteristic of equal numbers of $a$‘s and $b$‘s.

2. 分析 $y$ | Analyzing $y$:

   • 根据泵引理，$|xy|\le p$，这限制了 $y$ 的位置。

   • 分析 $y$ 的可能组成，考虑所有可能的情况。

   • 在我们的例子中，由于 $|xy|\le p$，$y$ 必须完全由 $a$ 组成。这是关键点，因为泵引理要求 $y$ 可以被重复任意次，而只有当 $y$ 全为 $a$ 时，才能导致矛盾。

   • According to the Pumping Lemma, $|xy|\le p$, which restricts the position of $y$.

   • Analyze the possible composition of $y$, considering all possible cases.

   • In our example, since $|xy|\le p$, $y$ must consist entirely of $a$‘s. This is crucial because the Pumping Lemma requires that $y$ can be repeated any number of times, and only when $y$ is all $a$‘s does this lead to a contradiction.

泵引理的严格证明 | Rigorous Proof of the Pumping Lemma

泵引理的严格证明基于有限自动机的性质：

The rigorous proof of the Pumping Lemma is based on properties of finite automata:

1. 正则语言等价性 | Equivalence of regular languages: 每个正则语言都可以由一个确定有限自动机 (DFA) 识别。

   Every regular language can be recognized by a deterministic finite automaton (DFA).

2. DFA 的性质 | Properties of DFA: 设 $M$ 是识别语言 $L$ 的 DFA，有 $n$ 个状态。

   Let $M$ be a DFA recognizing language $L$ with $n$ states.

3. 长字符串的处理 | Processing long strings: 对于任何长度大于等于 $n$ 的字符串 $s\in L$，$M$ 处理 $s$ 时必然会重复经过某个状态。

   For any string $s\in L$ with length greater than or equal to $n$, $M$ must repeat a state while processing $s$.

4. 分解字符串 | Decomposing the string: 我们可以将 $s$ 分解为 $s=xyz$，其中：

   • $x$ 是从初始状态到第一次重复状态的部分。
   • $y$ 是从第一次到第二次经过重复状态的部分（非空）。
   • $z$ 是剩余部分。

   We can decompose $s$ into $s=xyz$, where:

   • $x$ is the part from the initial state to the first occurrence of the repeated state.
   • $y$ is the part from the first to the second occurrence of the repeated state (non-empty).
   • $z$ is the remaining part.

5. 泵的性质 | Properties of the pump:

   • $|xy|\le n$，因为最多经过 $n$ 个状态后必然重复。

   • 对任意 $i\ge 0$，$x{y}^{i}z\in L$，因为重复状态可以循环任意次数。

   • $|xy|\le n$, because a state must repeat after at most $n$ steps.

   • For any $i\ge 0$, $x{y}^{i}z\in L$, because the repeated state can be cycled any number of times.

6. 泵长度 | Pumping length: 取 $p=n$，即为泵引理中的泵长度。

   Let $p=n$, which is the pumping length in the Pumping Lemma.

这个证明解释了为什么对于任何正则语言，我们总能找到满足泵引理条件的 $x$、$y$ 和 $z$。这就是为什么我们可以在应用泵引理时假设存在这样的分解。

This proof explains why for any regular language, we can always find $x$, $y$, and $z$ satisfying the conditions of the Pumping Lemma. This is why we can assume such a decomposition exists when applying the Pumping Lemma.

注意事项 | Notes

• 泵引理是一个必要条件，但不是充分条件。也就是说，有些非正则语言可能满足泵引理的所有条件。

• 在应用泵引理时，选择合适的字符串 $s$ 是关键。

• 泵引理主要用于证明语言不是正则的，而不能用来证明语言是正则的。

• The Pumping Lemma is a necessary condition, but not a sufficient one. That is, some non-regular languages might satisfy all conditions of the Pumping Lemma.

• When applying the Pumping Lemma, choosing an appropriate string $s$ is crucial.

• The Pumping Lemma is primarily used to prove languages are not regular, and cannot be used to prove languages are regular.