傅里叶变换求逆

已知傅里叶变换：

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$

步骤 1: 乘以 $e^{i\omega t}$ 并对 $\omega$ 积分

我们的目标是重构 $f(t)$，所以让我们尝试乘以 $e^{i\omega t}$ 并对 $\omega$ 积分：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau \right)e^{i\omega t}d\omega$$

这里我们用 $\tau$ 代替了内层积分中的 $t$，以避免混淆。

步骤 2: 交换积分顺序

根据 Fubini 定理，由于 $f(\tau )$ 和 $e^{-i\omega \tau }$ 是绝对可积的，在某些条件下，我们可以交换积分顺序：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega (t-\tau )}d\omega \right)d\tau$$

步骤 3: 计算内层积分

内层积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega (t-\tau )}d\omega$ 是关键。这实际上与 Dirac delta 函数有关：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega (t-\tau )}d\omega =2\pi \delta (t-\tau )$$

其中 $\delta (t-\tau )$ 是 Dirac delta 函数。

步骤 4: 代入结果

将这个结果代入我们的等式：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

步骤 5: 利用 Dirac delta 函数的性质

Dirac delta 函数有一个重要性质：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\delta (x-a)dx=g(a)$$

应用这个性质到我们的等式：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega =2\pi f(t)$$

步骤 6: 解出 $f(t)$

最后，我们可以解出 $f(t)$：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$

这就是逆傅里叶变换的公式。

关键点：

• 交换积分顺序是这个推导的关键步骤
• Dirac delta 函数在这个推导中起着核心作用
• 2π 因子的出现是由于 Dirac delta 函数的性质

这个推导过程展示了如何从傅里叶变换的定义出发，推导出逆傅里叶变换的公式。它说明了傅里叶变换和逆傅里叶变换之间的深刻数学联系，以及为什么它们能够在时域和频域之间进行完美的转换。