2024

Problem 1

Let ${\mathbb{R}}^3$ be the set of the three-dimensional real column vectors and ${\mathbb{R}}^{3\times 3}$ be the set of the three-by-three real matrices. Let ${\mathbf{n}}_1$, ${\mathbf{n}}_2$, and ${\mathbf{n}}_3\in {\mathbb{R}}^3$ be linearly independent unit-length vectors and ${\mathbf{n}}_4\in {\mathbb{R}}^3$ be a unit-length vector not parallel to ${\mathbf{n}}_1$, ${\mathbf{n}}_2$, or ${\mathbf{n}}_3$. Let $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ be square matrices defined as

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{n}}_1^{\mathrm{T}}-{\mathbf{n}}_2^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{n}}_2^{\mathrm{T}}-{\mathbf{n}}_3^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{n}}_3^{\mathrm{T}}-{\mathbf{n}}_4^{\mathrm{T}}\end{array}\right),\mathbf{B}=\sum _{i=1}^4{\mathbf{n}}_i{\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}.$$

Here, ${\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}$ and ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}$ denote the transpose of a matrix $\mathbf{X}$ and a vector $\mathbf{x}$, respectively. Answer the following questions.

1. Find the condition for ${\mathbf{n}}_4$ such that the rank of $\mathbf{A}$ is three.

2. In the three-dimensional Euclidean space ${\mathbb{R}}^3$, consider four planes ${\Pi }_i=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-d_i=0\}$ $(d_i$ is a real number, and $i=1,2,3,4)$ that satisfy the following three conditions: (i) the rank of $\mathbf{A}$ is three, (ii) $\Omega =\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-d_i\ge 0,i=1,2,3,4\}$ is not the empty set, and (iii) there exists a sphere $\mathbf{C}(\mathbf{C}\subseteq \Omega )$ to which ${\Pi }_i$ $(i=1,2,3,4)$ are tangent. The position vector of the center of $\mathbf{C}$ is represented by ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{u}$ using a vector $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3$. Express $\mathbf{u}$ using $d_i(i=1,2,3,4)$.

3. Show that $\mathbf{B}$ is a positive definite symmetric matrix.

4. Consider the point $\mathbf{P}$ from which the sum of squared distances to four planes $\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-d_i=0\}$ $(d_i$ is a real number, and $i=1,2,3,4)$ is minimized. The position vector of $\mathbf{P}$ is represented by ${\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{v}$ using a vector $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^3$. Express $\mathbf{v}$ using ${\mathbf{n}}_i$ and $d_i(i=1,2,3,4)$.

5. Let $l_i$ be a straight line through a point $Q_i$, the position vector of which is ${\mathbf{x}}_i\in {\mathbb{R}}^3$, parallel to ${\mathbf{n}}_i$ $(i=1,2,3)$ in ${\mathbb{R}}^3$. Let ${\mathbf{R}}_i$ be the orthogonal projection of an arbitrary point $\mathbf{P}$, the position vector of which is $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^3$, onto $l_i$. The position vector of ${\mathbf{R}}_i$ is represented by $\mathbf{y}-{\mathbf{W}}_i(\mathbf{y}-{\mathbf{x}}_i)$ using a matrix ${\mathbf{W}}_i\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$. The identity matrix is denoted by $\mathbf{I}\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$.

   (a) Express ${\mathbf{W}}_i$ using ${\mathbf{n}}_i$ and $\mathbf{I}$.

   (b) Show that ${\mathbf{W}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{W}}_i={\mathbf{W}}_i$.

   (c) Consider a plane $\Sigma =\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=b\}$ $(\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^3$ is a non-zero vector, and $b$ is a real number). Let $\mathbf{S}\in \Sigma$ be the point from which the sum of squared distances to $l_1$, $l_2$, and $l_3$ is minimized. When ${\mathbf{n}}_1$, ${\mathbf{n}}_2$, and ${\mathbf{n}}_3$ are orthogonal to each other, the position vector of $\mathbf{S}$ is represented by

   $$\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}\right)\mathbf{w}+\frac{\mathbf{a}b}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}$$

   using a vector $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^3$ which is independent of $\mathbf{a}$ and $b$. Express $\mathbf{w}$ using ${\mathbf{W}}_i$ and ${\mathbf{x}}_i(i=1,2,3)$.

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设 ${\mathbb{R}}^3$ 为三维实列向量的集合，${\mathbb{R}}^{3\times 3}$ 为三阶实方阵的集合。设 ${\mathbf{n}}_1$、${\mathbf{n}}_2$ 和 ${\mathbf{n}}_3\in {\mathbb{R}}^3$ 为线性无关的单位长度向量，${\mathbf{n}}_4\in {\mathbb{R}}^3$ 为不平行于 ${\mathbf{n}}_1$、${\mathbf{n}}_2$ 或 ${\mathbf{n}}_3$ 的单位长度向量。令 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 为定义如下的方阵：

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{n}}_1^{\mathrm{T}}-{\mathbf{n}}_2^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{n}}_2^{\mathrm{T}}-{\mathbf{n}}_3^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{n}}_3^{\mathrm{T}}-{\mathbf{n}}_4^{\mathrm{T}}\end{array}\right),\mathbf{B}=\sum _{i=1}^4{\mathbf{n}}_i{\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}.$$

其中，${\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}$ 和 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}$ 分别表示矩阵 $\mathbf{X}$ 和向量 $\mathbf{x}$ 的转置。回答以下问题。

1. 求 ${\mathbf{n}}_4$ 满足 $\mathbf{A}$ 的秩为三的条件。

2. 在三维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中，考虑四个平面 ${\Pi }_i=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-d_i=0\}$ $(d_i$ 为实数，$i=1,2,3,4)$，其满足以下三个条件：（i）$\mathbf{A}$ 的秩为三，（ii）$\Omega =\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-d_i\ge 0,i=1,2,3,4\}$ 不是空集，（iii）存在一个球 $\mathbf{C}(\mathbf{C}\subseteq \Omega )$，其与 ${\Pi }_i$ $(i=1,2,3,4)$ 相切。球 $\mathbf{C}$ 的中心位置向量由 ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{u}$ 表示，其中 $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3$。用 $d_i(i=1,2,3,4)$ 表示 $\mathbf{u}$。

3. 证明 $\mathbf{B}$ 是一个正定对称矩阵。

4. 考虑点 $\mathbf{P}$，从该点到四个平面 $\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}-d_i=0\}$ $(d_i$ 为实数，$i=1,2,3,4)$ 的平方距离之和最小。点 $\mathbf{P}$ 的位置向量由 ${\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{v}$ 表示，其中 $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^3$。用 ${\mathbf{n}}_i$ 和 $d_i(i=1,2,3,4)$ 表示 $\mathbf{v}$。

5. 设 $l_i$ 是通过点 $Q_i$ 的一条直线，该点的位置向量为 ${\mathbf{x}}_i\in {\mathbb{R}}^3$，平行于 ${\mathbf{n}}_i$ $(i=1,2,3)$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中。设 ${\mathbf{R}}_i$ 是任意点 $\mathbf{P}$ 的正交投影，该点的位置向量为 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^3$，投影到 $l_i$ 上。${\mathbf{R}}_i$ 的位置向量由 $\mathbf{y}-{\mathbf{W}}_i(\mathbf{y}-{\mathbf{x}}_i)$ 表示，其中 ${\mathbf{W}}_i\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$。单位矩阵记为 $\mathbf{I}\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$。

   (a) 用 ${\mathbf{n}}_i$ 和 $\mathbf{I}$ 表示 ${\mathbf{W}}_i$。

   (b) 证明 ${\mathbf{W}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{W}}_i={\mathbf{W}}_i$。

   (c) 考虑平面 $\Sigma =\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^3\mid {\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=b\}$ $(\mathbf{a}\in {\mathbb{R}}^3$ 是非零向量，$b$ 为实数）。设 $\mathbf{S}\in \Sigma$ 为从该点到 $l_1$、$l_2$ 和 $l_3$ 的平方距离之和最小的点。当 ${\mathbf{n}}_1$、${\mathbf{n}}_2$ 和 ${\mathbf{n}}_3$ 彼此正交时，点 $\mathbf{S}$ 的位置向量表示为

   $$\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{a}{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}\right)\mathbf{w}+\frac{\mathbf{a}b}{{\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}$$

   其中 $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^3$ 是独立于 $\mathbf{a}$ 和 $b$ 的向量。用 ${\mathbf{W}}_i$ 和 ${\mathbf{x}}_i(i=1,2,3)$ 表示 $\mathbf{w}$。

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Problem 2

Consider a function $f(s)$ defined by the following integral for positive real numbers $s$.

$$f(s)={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t.$$

Answer the following questions. You may answer without showing that the above integral converges.

1. Find the value of $f(1)$.

2. The inequality $\exp (t)>\frac{t^n}{n!}$ holds for any positive real number $t$ and non-negative integer $n$.

   1. For positive real numbers $s$, show the following inequality.
   $${\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t<\frac{1}{s}.$$
   2. When $n>s>0$, show that the following inequality holds for any real number $c$ that satisfies $c>1$.
   $${\int }_1^c{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t<\frac{n!}{n-s}.$$

3. When the second-order derivative of $f(s)$ is expressed as

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(s)}{\mathrm{d}{s}^2}={\int }_0^{\infty }g(t,s)\exp (-t)\mathrm{d}t,$$

find a function $g(t,s)$. You may answer without showing that the order of differentiation and integration can be exchanged.

4. Find the value of $D$ defined as

$$D={\int }_0^{\infty }(\log t{)}^2\exp (-t)\mathrm{d}t-{\left({\int }_0^{\infty }(\log t)\exp (-t)\mathrm{d}t\right)}^2.$$

Here, you may use the fact that the following relation holds.

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\log f(s)}{\mathrm{d}{s}^2}{|}_{s=1}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

5. Define a function $p(r)$ for positive real numbers $r$ and $\alpha$ as

$$p(r)=\frac{r}{\alpha }\exp \left(-\frac{r^2}{2\alpha }\right).$$

Find the value of $S$ defined as

$$S={\int }_0^{\infty }(\log r{)}^{2}p(r)\mathrm{d}r-{\left({\int }_0^{\infty }(\log r)p(r)\mathrm{d}r\right)}^2.$$

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考虑由以下积分定义的函数 $f(s)$，其中 $s$ 是正实数。

$$f(s)={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t.$$

回答以下问题。你可以在不证明上述积分收敛的情况下作答。

1. 求 $f(1)$ 的值。

2. 不等式 $\exp (t)>\frac{t^n}{n!}$ 对任意正实数 $t$ 和非负整数 $n$ 成立。

   1. 对于正实数 $s$，证明以下不等式。
   $${\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t<\frac{1}{s}.$$
   2. 当 $n>s>0$ 时，证明以下不等式对任何满足 $c>1$ 的实数 $c$ 成立。
   $${\int }_1^c{t}^{s-1}\exp (-t)\mathrm{d}t<\frac{n!}{n-s}.$$

3. 当 $f(s)$ 的二阶导数表示为

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(s)}{\mathrm{d}{s}^2}={\int }_0^{\infty }g(t,s)\exp (-t)\mathrm{d}t,$$

找出函数 $g(t,s)$。你可以在不证明微分与积分次序可以交换的情况下作答。

4. 求 $D$ 的值，其定义如下：

$$D={\int }_0^{\infty }(\log t{)}^2\exp (-t)\mathrm{d}t-{\left({\int }_0^{\infty }(\log t)\exp (-t)\mathrm{d}t\right)}^2.$$

这里，你可以使用以下关系：

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\log f(s)}{\mathrm{d}{s}^2}{|}_{s=1}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

5. 定义一个函数 $p(r)$，其中 $r$ 和 $\alpha$ 是正实数，定义为

$$p(r)=\frac{r}{\alpha }\exp \left(-\frac{r^2}{2\alpha }\right).$$

求 $S$ 的值，其定义如下：

$$S={\int }_0^{\infty }(\log r{)}^{2}p(r)\mathrm{d}r-{\left({\int }_0^{\infty }(\log r)p(r)\mathrm{d}r\right)}^2.$$

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Problem 3

Consider a particle moving on the coordinate plane, and denote the location of the particle at time $t\in \{0,1,2,\dots \}$ by $(X_t,Y_t)$. The initial location of the particle is $(X_0,Y_0)=(0,0)$. Also, if $(X_t,Y_t)=(a,b)$, then $(X_{t+1},Y_{t+1})=(a+1,b)$ with probability $p$, $(X_{t+1},Y_{t+1})=(a,b+1)$ with probability $q$, and $(X_{t+1},Y_{t+1})=(a,b)$ with probability $1-p-q$. Here, it is assumed that $p,q>0$, $p+q<1$, and the movements of the particle at different time points are independent. Let $(X,Y)$ denote the location of the particle such that $(X_{t+1},Y_{t+1})=(X_t,Y_t)$ for the first time. Answer the following questions.

1. Show that the probability that $(X,Y)=(1,2)$ is $3p{q}^2(1-p-q)$.

2. For non-negative integers $n$, find the probability that $X+Y=n$.

3. For non-negative integers $n$, let $f_n$ denote the probability that $X=n$.

   • (a) Find $f_0$.
   • (b) Express the probability that $X\ge n+1$ given the condition $X\ge n$, using $f_0$.
   • (c) Show that $f_n=(1-f_0{)}^n{f}_0$.

4. Express the expectation of $X$ using $p$ and $q$.

5. Express the correlation coefficient between $X$ and $Y$ using $p$ and $q$, where ${\mu }_X=\mathbb{E}[X]$ denotes the expectation of $X$ and ${\mu }_Y=\mathbb{E}[Y]$ denotes the expectation of $Y$.

$$\frac{\mathbb{E}[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]}{\sqrt{\mathbb{E}[(X-{\mu }_X{)}^2]\mathbb{E}[(Y-{\mu }_Y{)}^2]}}$$

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考虑一个在坐标平面上运动的粒子，并用 $(X_t,Y_t)$ 表示时间 $t\in \{0,1,2,\dots \}$ 时粒子的位置。粒子的初始位置是 $(X_0,Y_0)=(0,0)$。此外，如果 $(X_t,Y_t)=(a,b)$，那么 $(X_{t+1},Y_{t+1})=(a+1,b)$ 的概率为 $p$，$(X_{t+1},Y_{t+1})=(a,b+1)$ 的概率为 $q$，而 $(X_{t+1},Y_{t+1})=(a,b)$ 的概率为 $1-p-q$。这里假设 $p,q>0$，$p+q<1$，并且粒子在不同时间点的运动是独立的。令 $(X,Y)$ 表示粒子的位置，使得 $(X_{t+1},Y_{t+1})=(X_t,Y_t)$ 首次发生。回答以下问题。

1. 证明 $(X,Y)=(1,2)$ 的概率是 $3p{q}^2(1-p-q)$。

2. 对于非负整数 $n$，求 $X+Y=n$ 的概率。

3. 对于非负整数 $n$，令 $f_n$ 表示 $X=n$ 的概率。

   • (a) 求 $f_0$。
   • (b) 使用 $f_0$ 表达 $X\ge n+1$ 在 $X\ge n$ 的条件下的概率。
   • (c) 证明 $f_n=(1-f_0{)}^n{f}_0$。

4. 使用 $p$ 和 $q$ 表达 $X$ 的期望值。

5. 使用 $p$ 和 $q$ 表达 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数，其中 ${\mu }_X=\mathbb{E}[X]$ 表示 $X$ 的期望，${\mu }_Y=\mathbb{E}[Y]$ 表示 $Y$ 的期望。

$$\frac{\mathbb{E}[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]}{\sqrt{\mathbb{E}[(X-{\mu }_X{)}^2]\mathbb{E}[(Y-{\mu }_Y{)}^2]}}$$