Linear Mapping

Linear Mapping / 线性映射

Linear Mapping / 线性映射

A linear mapping $T:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ is a function that satisfies $T(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aT(\mathbf{x})+bT(\mathbf{y})$ for all $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m$ and all scalars $a,b\in \mathbb{R}$.

线性映射 $T:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 是一个满足 $T(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aT(\mathbf{x})+bT(\mathbf{y})$ 的函数，其中 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m$，$a,b\in \mathbb{R}$。

Surjectivity / 满射

A function $T$ is surjective (onto) if for every $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$, there exists at least one $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ such that $T(\mathbf{x})=\mathbf{y}$.

如果对每个 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$，至少存在一个 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ 使得 $T(\mathbf{x})=\mathbf{y}$，则函数 $T$ 是满射（到射）的。

Injectivity / 单射

A function $T$ is injective (one-to-one) if for every ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathbb{R}}^m$, $T({\mathbf{x}}_1)=T({\mathbf{x}}_2)$ implies ${\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2$.

如果对每个 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathbb{R}}^m$，$T({\mathbf{x}}_1)=T({\mathbf{x}}_2)$ 蕴含 ${\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2$，则函数 $T$ 是单射的。

Bijectivity / 双射

A function $T$ is bijective if it is both injective and surjective, meaning that for every $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$, there exists a unique $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ such that $T(\mathbf{x})=\mathbf{y}$.

如果函数 $T$ 既是单射又是满射，则称其为双射，这意味着对每个 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$，存在唯一的 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ 使得 $T(\mathbf{x})=\mathbf{y}$。