Residue Theory and Its Applications

留数理论及其应用

1. Introduction 简介

Residue theory is a powerful tool in complex analysis for evaluating certain integrals and series.

留数理论是复分析中用于计算某些积分和级数的强大工具。

2. Key Concepts 核心概念

2.1 Residue 留数

Definition 定义: The residue of a meromorphic function $f(z)$ at a singularity $a$ is the coefficient of $(z-a{)}^{-1}$ in the Laurent series expansion of $f(z)$ about $a$. 函数 $f(z)$ 在奇点 $a$ 处的留数是 $f(z)$ 在 $a$ 处的洛朗级数展开中 $(z-a{)}^{-1}$ 项的系数。

Notation 记号: $\text{Res}(f,a)$ or ${\text{Res}}_{z=a}f(z)$

2.2 Types of Singularities 奇点类型

1. Removable Singularity 可去奇点:

   • ${\lim }_{z\to a}(z-a)f(z)=0$
   • Residue is 0 留数为 0

2. Simple Pole 简单极点:

   • ${\lim }_{z\to a}(z-a)f(z)$ exists and is non-zero
   • ${\lim }_{z\to a}(z-a)f(z)$ 存在且不为零

3. Pole of Order m m 阶极点:

   • ${\lim }_{z\to a}(z-a{)}^{m}f(z)$ exists and is non-zero
   • ${\lim }_{z\to a}(z-a{)}^{m}f(z)$ 存在且不为零

4. Essential Singularity 本性奇点:

   • Neither removable nor a pole
   • 既不是可去奇点也不是极点

3. Residue Calculation Techniques 留数计算技巧

3.1 For Simple Poles 简单极点

$$\text{Res}(f,a)=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$$

3.2 For Poles of Order m m 阶极点

$$\text{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}[(z-a{)}^{m}f(z)]$$

3.3 Using Laurent Series 使用洛朗级数

If $f(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$, then:

如果 $f(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$，那么：

$$\text{Res}(f,a)=a_{-1}$$

4. Residue Theorem 留数定理

Statement 陈述: Let $f(z)$ be meromorphic in a simply connected domain $D$, and let $C$ be a simple closed contour in $D$. If $f(z)$ has finitely many singularities $a_1,a_2,\dots ,a_n$ inside $C$, then: 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内亚纯，$C$ 是 $D$ 内的简单闭合曲线。如果 $f(z)$ 在 $C$ 内有有限个奇点 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，则：

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\text{Res}(f,a_k)$$

5. Applications 应用

5.1 Evaluation of Real Integrals 实积分的计算

For ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$, consider ${\oint }_{C}f(z)dz$ where $C$ is a semicircle in the upper half-plane.

对于 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$，考虑 ${\oint }_{C}f(z)dz$，其中 $C$ 是上半平面的半圆。

5.2 Summation of Series 级数求和

For ${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }f(n)$, consider $\frac{\pi }{\sin (\pi z)}f(z)$ and its residues.

对于 ${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }f(n)$，考虑 $\frac{\pi }{\sin (\pi z)}f(z)$ 及其留数。

5.3 Argument Principle 辐角原理

$$N-P=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$$

Where $N$ is the number of zeros and $P$ is the number of poles of $f(z)$ inside $C$, counting multiplicity.

其中 $N$ 是 $f(z)$ 在 $C$ 内的零点数，$P$ 是极点数，计算重数。

6. Common Mistakes to Avoid 常见错误

1. Forgetting to check if all singularities are inside the contour. 忘记检查是否所有奇点都在轮廓内。

2. Misidentifying the order of a pole. 错误识别极点的阶数。

3. Neglecting to consider residues at infinity for improper integrals. 对于非正常积分，忽略了无穷远处的留数。

4. Incorrectly applying the residue theorem to non-meromorphic functions. 错误地将留数定理应用于非亚纯函数。

7. Practice Problems 练习题

1. Calculate ${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^4}$ using residue theory. 使用留数理论计算 ${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^4}$。

2. Find the sum of the series ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ using residue theory. 使用留数理论求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 的和。

3. Evaluate ${\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z^3(z-1)}dz$. 计算 ${\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z^3(z-1)}dz$。