Linear Space

线性空间 Linear Spaces

零空间 Null Space

定义与性质 Definition and Properties

1. 零空间 Null Space： 矩阵 $A$ 的零空间是解齐次线性方程组 $Ax=0$ 的所有向量 $x$ 的集合，记作 $N(A)$。

   The null space of a matrix $A$ is the set of all vectors $x$ that satisfy the homogeneous system $Ax=0$, denoted as $N(A)$.

2. 维数 Dimension： 零空间的维数被称为 零空间的维数（nullity）。如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，零空间的维数为 $n-\text{rank}(A)$。

   The dimension of the null space is called the nullity. If $A$ is an $m\times n$ matrix, the dimension of the null space is $n-\text{rank}(A)$.

计算方法 Calculation Methods

1. 行简化 Row Reduction： 对 $A$ 进行行简化，找出自由变量，并用这些变量表示出解空间。

   Perform row reduction on $A$, identify the free variables, and express the solution space in terms of these variables.

2. 参数表示 Parametric Form： 零空间的向量可以表示为参数向量的线性组合。

   The vectors in the null space can be expressed as a linear combination of parametric vectors.

   例 Example：

   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right)\to \text{RREF}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

N(A) = \left{ t \begin{pmatrix}

-2 \

1 \

0

\end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right}

## 列空间 Column Space ### 定义与性质 Definition and Properties 1. **定义 Definition**： 矩阵 $A$ 的列空间是由 $A$ 的所有列向量张成的空间，记作 $\text{Col}(A)$。 The column space of a matrix $A$ is the space spanned by all the column vectors of $A$, denoted as $\text{Col}(A)$. 2. **维数 Dimension**： 列空间的维数被称为 **秩（rank）**。如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，列空间的维数等于矩阵 $A$ 的秩 $\text{rank}(A)$。 The dimension of the column space is called the **rank**. If $A$ is an $m \times n$ matrix, the dimension of the column space is the rank of the matrix $\text{rank}(A)$. 3. **几何意义 Geometric Interpretation**： 列空间是线性方程组 $Ax = b$ 右侧向量 $b$ 的所有可能值的集合。 The column space represents all possible values of the right-hand side vector $b$ in the linear system $Ax = b$. ### 计算方法 Calculation Methods 1. **行简化 Row Reduction**： 对 $A$ 进行行简化，保留列阶梯形矩阵（column echelon form）中的主列向量，它们张成列空间。 Perform row reduction on $A$ and retain the pivot columns in the column echelon form, which span the column space. 例 Example：

A = \begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \

4 & 5 & 6 \

7 & 8 & 9

\end{pmatrix} \rightarrow \text{RREF} \rightarrow \begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 \

0 & 1 & 2 \

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

列空间由原矩阵 $A$ 的第一列和第二列张成，即 $\text{Col}(A) = \text{Span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \right\}$。 The column space is spanned by the first and second columns of the original matrix $A$, i.e., $\text{Col}(A) = \text{Span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \right\}$. ## 行空间 Row Space ### 定义与性质 Definition and Properties 1. **定义 Definition**： 矩阵 $A$ 的行空间是由 $A$ 的所有行向量张成的空间，记作 $\text{Row}(A)$。 The row space of a matrix $A$ is the space spanned by all the row vectors of $A$, denoted as $\text{Row}(A)$. 2. **维数 Dimension**： 行空间的维数等于矩阵 $A$ 的秩 $\text{rank}(A)$。 The dimension of the row space is equal to the rank of the matrix $\text{rank}(A)$. ### 计算方法 Calculation Methods 1. **行简化 Row Reduction**： 对 $A$ 进行行简化，保留简化行阶梯形矩阵（reduced row echelon form, RREF）中的非零行，它们张成行空间。 Perform row reduction on $A$ and retain the non-zero rows in the reduced row echelon form (RREF), which span the row space. 例 Example：

A = \begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \

4 & 5 & 6 \

7 & 8 & 9

\end{pmatrix} \rightarrow \text{RREF} \rightarrow \begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 \

0 & 1 & 2 \

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

行空间由非零行向量张成，即 $\text{Row}(A) = \text{Span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \right\}$。 The row space is spanned by the non-zero row vectors, i.e., $\text{Row}(A) = \text{Span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \right\}$. ## 零空间与列空间的关系 Relationship between Null Space and Column Space ### 正交补 Orthogonal Complement 1. **定义 Definition**： 矩阵 $A$ 的列空间 $\text{Col}(A)$ 和零空间 $N(A^T)$（$A$ 的转置的零空间）互为正交补，即

\text{Col}(A) \perp N(A^T)

所有在 $\text{Col}(A)$ 中的向量都与在 $N(A^T)$ 中的向量正交。 The column space $\text{Col}(A)$ and the null space of the transpose $N(A^T)$ of a matrix $A$ are orthogonal complements of each other, i.e.,

\text{Col}(A) \perp N(A^T)

All vectors in $\text{Col}(A)$ are orthogonal to all vectors in $N(A^T)$. 2. **几何意义 Geometric Interpretation**： 如果 $y \in \text{Col}(A)$，则 $y \cdot x = 0$ 对于任意 $x \in N(A^T)$ 成立。 If $y \in \text{Col}(A)$, then $y \cdot x = 0$ for any $x \in N(A^T)$. ### 基础定理 Fundamental Theorem 线性代数的基本定理之一表明，对于任意矩阵 $A$，

\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n

其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数。 One of the fundamental theorems of linear algebra states that for any matrix $A$,

\text{rank}(A)

• \text{nullity}(A) = n

where $n$ is the number of columns of the matrix $A$. ### 零空间和列空间的关系总结 Summary of the Relationship between Null Space and Column Space 1. 矩阵 $A$ 的零空间 $N(A)$ 是 $A$ 的列空间 $\text{Col}(A)$ 的正交补。 The null space $N(A)$ of a matrix $A$ is the orthogonal complement of the column space $\text{Col}(A)$ of $A$. 2. 矩阵 $A^T$ 的零空间 $N(A^T)$ 是 $A$ 的行空间 $\text{Row}(A)$ 的正交补。 The null space $N(A^T)$ of the transpose matrix $A^T$ is the orthogonal complement of the row space $\text{Row}(A)$ of $A$. 3. 矩阵 $A$ 的秩和零空间的维数之和等于 $A$ 的列数。 The sum of the rank of matrix $A$ and the dimension of its null space equals the number of columns of $A$.