微积分

微积分考前速查表

1. 极限与连续性

1.1 极限定义

对于函数 $f(x)$，当 $x\to a$ 时的极限：

${\lim }_{x\to a}f(x)=L⟺\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\text{使得当}0<|x-a|<\delta \text{时},|f(x)-L|<ϵ$

1.2 重要极限

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

• ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

1.3 连续性

函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续 $⟺{\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

2. 导数与微分

2.1 导数定义

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

2.2 基本导数公式

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

2.3 导数法则

• $(f\pm g{)}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }$
• $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
• $(\frac{f}{g}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
• 链式法则：$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

2.4 高阶导数

• Leibniz 公式：$(fg{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$

2.5 隐函数求导

对于方程 $F(x,y)=0$，有 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

3. 积分

3.1 不定积分

• $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,(n\ne -1)$
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \cos xdx=\sin x+C$

3.2 定积分

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$

3.3 积分性质

• ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$
• ${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$

3.4 积分技巧

• 换元法：$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du,u=g(x)$
• 分部积分：$\int udv=uv-\int vdu$

3.5 重积分

• 二重积分：${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dydx$
• 三重积分：${\iiint }_{V}f(x,y,z)dV={\int }_a^b{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx$

4. 级数

4.1 收敛性判别

• 比值判别法：${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=L,L<1\Rightarrow \text{收敛}$
• 根值判别法：${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=L,L<1\Rightarrow \text{收敛}$

4.2 幂级数

• 收敛半径：$R=\frac{1}{{\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$

4.3 Taylor 级数

$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

5. 多元微积分

5.1 偏导数

$\frac{\partial f}{\partial x}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

5.2 全微分

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

5.3 梯度

$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$

5.4 方向导数

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}=\nabla f\cdot \mathbf{u}$

5.5 拉普拉斯算子

$\Delta f={\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

6. 向量分析

6.1 散度

$\text{div }\mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

6.2 旋度

$\text{curl }\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

6.3 线积分

${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]dt$

6.4 格林公式

${\oint }_C(Pdx+Qdy)={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dA$

6.5 斯托克斯公式

${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

6.6 高斯公式

${\iiint }_V(\nabla \cdot \mathbf{F})dV={\oint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$

重点难点提示

• 熟练掌握各种求导法则和积分技巧
• 理解多元函数的偏导数、全微分和方向导数的概念
• 掌握向量分析中的散度、旋度和梯度的计算
• 理解并应用格林公式、斯托克斯公式和高斯公式
• 注意级数收敛性的判断和幂级数的应用

7. 高级积分和特殊函数

7.1 Gamma 函数

定义：

$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt,\text{for }\Re (z)>0$

性质：

• $\Gamma (n)=(n-1)!$ 对于正整数 $n$
• $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$
• $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$

7.2 Beta 函数

定义：

$B(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt,\text{for }\Re (x)>0,\Re (y)>0$

与 Gamma 函数的关系：

$B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$

7.3 高斯积分

定义：

${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

推广形式：

${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}},\text{for }a>0$

7.4 Dirichlet 积分

${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

7.5 Fresnel 积分

${\int }_0^{\infty }\cos (x^2)dx={\int }_0^{\infty }\sin (x^2)dx=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}$

8. 傅里叶分析基础

8.1 傅里叶级数

周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数展开：

$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

其中：

$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$

8.2 傅里叶变换

定义：

$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx$

逆变换：

$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$

9. 复变函数基础

9.1 柯西-黎曼方程

函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在复平面上可微的充要条件：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

9.2 柯西积分公式

如果 $f(z)$ 在闭合曲线 $C$ 内解析，则对 $C$ 内任意点 $z_0$：

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

9.3 留数定理

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i{\sum }_{k=1}^n\text{Res}(f,z_k)$

其中 $z_k$ 是 $f(z)$ 在 $C$ 内的奇点，$\text{Res}(f,z_k)$ 是 $f$ 在 $z_k$ 处的留数。

重点难点提示

• 理解 Gamma 函数和 Beta 函数的定义和性质，特别是它们之间的关系
• 掌握高斯积分的计算及其在概率论中的应用
• 熟悉傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念和应用
• 理解复变函数中的柯西-黎曼方程和柯西积分公式
• 掌握留数定理在复积分计算中的应用
• 注意特殊积分（如 Dirichlet 积分和 Fresnel 积分）的结果和应用场景