Surjectivity and Injectivity

Surjectivity and Injectivity of Linear Transformation

线性变换满射性和单射性

Definition / 定义

Given a linear transformation $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ defined by $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}$, where $\mathbf{A}$ is an $n\times m$ matrix, we analyze the properties of surjectivity and injectivity.

给定由 $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}$ 定义的线性变换 $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$，其中 $\mathbf{A}$ 是一个 $n\times m$ 矩阵，我们分析其满射性和单射性的性质。

Surjectivity / 满射性

Definition / 定义

A function $T_{\mathbf{A}}$ is surjective (onto) if for every $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$, there exists at least one $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ such that $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{y}$.

如果对每个 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$，至少存在一个 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ 使得 $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{y}$，则函数 $T_{\mathbf{A}}$ 是满射（到射）的。

Conditions for Surjectivity / 满射性的条件

• $T_{\mathbf{A}}$ is surjective if and only if the matrix $\mathbf{A}$ has full row rank, i.e., $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=n$. 当且仅当矩阵 $\mathbf{A}$ 满行秩，即 $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=n$ 时，$T_{\mathbf{A}}$ 是满射的。
• This implies that $\mathbf{A}$ has $n$ linearly independent rows. 这意味着 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的行。

Example / 示例

Let $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$, which is a $3\times 2$ matrix. Since $\mathbf{A}$ has rank 2, which is less than 3, $T_{\mathbf{A}}$ is not surjective.

令 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$，这是一个 $3\times 2$ 矩阵。由于 $\mathbf{A}$ 的秩是 2，小于 3，$T_{\mathbf{A}}$ 不是满射的。

Injectivity / 单射性

Definition / 定义

A function $T_{\mathbf{A}}$ is injective (one-to-one) if for every ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathbb{R}}^m$, $T_{\mathbf{A}}({\mathbf{x}}_1)=T_{\mathbf{A}}({\mathbf{x}}_2)$ implies ${\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2$.

如果对每个 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathbb{R}}^m$，$T_{\mathbf{A}}({\mathbf{x}}_1)=T_{\mathbf{A}}({\mathbf{x}}_2)$ 蕴含 ${\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2$，则函数 $T_{\mathbf{A}}$ 是单射的。

Conditions for Injectivity / 单射性的条件

• $T_{\mathbf{A}}$ is injective if and only if the matrix $\mathbf{A}$ has full column rank, i.e., $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=m$. 当且仅当矩阵 $\mathbf{A}$ 满列秩，即 $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=m$ 时，$T_{\mathbf{A}}$ 是单射的。
• This implies that $\mathbf{A}$ has $m$ linearly independent columns. 这意味着 $\mathbf{A}$ 有 $m$ 个线性无关的列。

Example / 示例

Let $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, which is a $2\times 2$ matrix. Since $\mathbf{A}$ has rank 1, which is less than 2, $T_{\mathbf{A}}$ is not injective.

令 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$，这是一个 $2\times 2$ 矩阵。由于 $\mathbf{A}$ 的秩是 1，小于 2，$T_{\mathbf{A}}$ 不是单射的。

Combined Properties / 组合性质

Bijectivity / 双射性

A function $T_{\mathbf{A}}$ is bijective (both injective and surjective) if $\mathbf{A}$ is a square matrix (i.e., $m=n$) and $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=m=n$.

如果 $\mathbf{A}$ 是一个方阵（即 $m=n$）且 $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=m=n$，则函数 $T_{\mathbf{A}}$ 是双射的。

Example / 示例

Let $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, which is a $2\times 2$ identity matrix. Since $\mathbf{A}$ has rank 2 and is a square matrix, $T_{\mathbf{A}}$ is bijective.

令 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，这是一个 $2\times 2$ 单位矩阵。由于 $\mathbf{A}$ 的秩是 2 且是一个方阵，$T_{\mathbf{A}}$ 是双射的。