ODE和PDE核心学习指南

UTokyo IST 入学考试 ODE 和 PDE 核心学习指南

1. 常微分方程（ODE）

1.1 一阶 ODE

• 变量可分离方程
• 线性方程
• 伯努利方程
• 全微分方程和积分因子

1.2 高阶线性 ODE

• 常系数齐次线性方程
• 常系数非齐次线性方程
• 欧拉方程

1.3 ODE 系统

• 一阶线性系统的矩阵表示
• 特征值和特征向量的应用

2. 偏微分方程（PDE）基础

2.1 PDE 的分类

• 线性和非线性 PDE
• 椭圆型、抛物型和双曲型方程

2.2 分离变量法

• 在直角坐标系中的应用

2.3 经典 PDE

• 热方程
• 波动方程
• 拉普拉斯方程

3. 重要解题技巧

3.1 ODE

• 降阶法
• 常数变易法
• 特解叠加原理

3.2 PDE

• 分离变量法
• 傅里叶级数在求解 PDE 中的应用（基础）

4. 应用问题

4.1 物理学应用

• 简谐振动
• 热传导基础问题
• 一维波动方程应用

4.2 工程学应用

• 简单电路分析
• 基础结构振动问题

学习建议

1. 从一阶 ODE 开始，确保掌握每种类型的标准解法。
2. 在学习高阶 ODE 时，重点放在常系数线性方程上，这是考试的重点。
3. 对于 PDE，集中精力在分离变量法上，这是解决大多数考试问题的关键。
4. 练习将物理问题转化为数学模型，特别是振动和热传导问题。
5. 多做 UTokyo IST 往年的考试题，熟悉题型和难度。
6. 注重理解基本概念和解题思路，而不是死记硬背公式。