ODE

常微分方程考前速查表

1. 基本概念

1.1 常微分方程的阶

方程中最高阶导数的阶数

1.2 解的类型

• 通解：包含任意常数的解
• 特解：不包含任意常数的解
• 隐式解：以隐函数形式给出的解
• 奇解：不能从通解得到的解

2. 一阶常微分方程

2.1 可分离变量方程

形如：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$

解法：$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C$

2.2 齐次方程

形如：$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

解法：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$

2.3 一阶线性方程

形如：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

解法：积分因子法，$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$

2.4 Bernoulli 方程

形如：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,n\ne 0,1$

解法：令 $u=y^{1-n}$，转化为线性方程

2.5 全微分方程

形如：$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

条件：$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

解法：$\int Mdx+\int (N-\int \frac{\partial M}{\partial y}dx)dy=C$

2.6 一阶隐式方程

形如：$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$

解法：

1. 参数化：令 $\frac{dy}{dx}=p$，解 $F(x,y,p)=0$
2. 包络法：消去参数 $p$

3. 高阶常微分方程

3.1 可降阶方程

1. $y^{(n)}=f(x)$：直接积分 $n$ 次
2. $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$：令 $p=y^{\prime }$，转化为一阶方程
3. $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$：令 $p=y^{\prime }$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=p\frac{dp}{dy}$

3.2 线性微分方程

形如：$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$

3.2.1 齐次线性方程

当 $f(x)=0$ 时：

• 通解：$y=c_1{y}_1+c_2{y}_2+\cdots +c_n{y}_n$
• 线性无关解的判别：Wronskian 行列式 $W(y_1,\dots ,y_n)\ne 0$

3.2.2 非齐次线性方程

解法：

1. 常数变易法
2. 特解叠加原理

3.3 欧拉方程

形如：$x^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$

解法：令 $x=e^t$，转化为常系数线性方程

4. 常系数线性微分方程

4.1 齐次方程

形如：$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

特征方程：$a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0$

解的形式：

1. 单根 ${\lambda }_i$：$y_i=e^{{\lambda }_{i}x}$
2. $k$ 重根 ${\lambda }_i$：$y_i=x^j{e}^{{\lambda }_{i}x},j=0,1,\dots ,k-1$
3. 共轭复根 $a\pm bi$：$y_1=e^{ax}\cos bx,y_2=e^{ax}\sin bx$

4.2 非齐次方程

形如：$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$

特解形式：

1. $f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}$：$y_p=x^k{Q}_m(x)e^{\alpha x}$
   • $k=0$ 如果 $\alpha$ 不是特征根
   • $k$ 等于 $\alpha$ 作为特征根的重数
2. $f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x+P_m(x)\sin \beta x]$： $y_p=x^k{e}^{\alpha x}[Q_l(x)\cos \beta x+Q_m(x)\sin \beta x]$
   • $k=0$ 如果 $\alpha \pm \beta i$ 不是特征根
   • $k=1$ 如果 $\alpha \pm \beta i$ 是特征根

5. 微分方程组

5.1 一阶线性系统

形如：${\mathbf{x}}^{\prime }=A(t)\mathbf{x}+\mathbf{b}(t)$

解法：

1. 特征值法（当 $A$ 为常数矩阵）
2. 矩阵指数法：$\mathbf{x}=e^{At}\mathbf{c}+{\int }_0^t{e}^{A(t-s)}\mathbf{b}(s)ds$

5.2 高阶方程转化为一阶系统

令 $x_1=y,x_2=y^{\prime },\dots ,x_n=y^{(n-1)}$

6. 边值问题

6.1 Sturm-Liouville 问题

形如：$-(p(x)y^{\prime }{)}^{\prime }+q(x)y=\lambda r(x)y$

边界条件：${\alpha }_{1}y(a)+{\alpha }_2{y}^{\prime }(a)=0$, ${\beta }_{1}y(b)+{\beta }_2{y}^{\prime }(b)=0$

性质：

1. 特征值都是实数
2. 不同特征值对应的特征函数正交

6.2 Green 函数

用于求解非齐次边值问题：$Ly=f(x)$，$y(a)=y(b)=0$

解：$y(x)={\int }_a^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi$

7. 级数解法

7.1 幂级数解

假设解的形式：$y={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$

7.2 Frobenius 方法

用于奇点处的解，假设解的形式：$y=x^r{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$

重点难点提示

• 熟练掌握一阶方程的各种解法，特别是可分离变量和线性方程
• 理解线性方程的结构，包括齐次和非齐次的解法
• 掌握常系数线性方程的特征方程方法
• 对于非齐次方程，重点关注特解的构造方法
• 理解微分方程组和高阶方程之间的转化
• 了解边值问题和级数解法的基本思想