Image and Kernel

Image and Kernel 值域和核

Image / 值域

Definition / 定义

The image (or range) of a linear transformation $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ is the set of all vectors $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$ that can be written as $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}$ for some $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$.

线性变换 $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 的值域（或范围）是所有可以写成 $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}$ 形式的 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量 $\mathbf{y}$ 的集合，其中 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$。

$$\mathrm{Im}(T_{\mathbf{A}})=\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n\mid \mathbf{y}=\mathbf{Ax}\text{ for some }\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m\}$$

Properties / 性质

• The dimension of the image of $T_{\mathbf{A}}$ is equal to the rank of the matrix $\mathbf{A}$. $T_{\mathbf{A}}$ 的值域的维度等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩。
• The image is a subspace of ${\mathbb{R}}^n$. 值域是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

Kernel / 核

Definition / 定义

The kernel (or null space) of a linear transformation $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ is the set of all vectors $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$ that are mapped to the zero vector in ${\mathbb{R}}^n$, i.e., $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}=0$.

线性变换 $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 的核（或零空间）是所有被映射到 ${\mathbb{R}}^n$ 中的零向量的 ${\mathbb{R}}^m$ 中的向量 $\mathbf{x}$ 的集合，即 $T_{\mathbf{A}}(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}=0$。

$$\mathrm{Ker}(T_{\mathbf{A}})=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m\mid \mathbf{Ax}=0\}$$

Properties / 性质

• The dimension of the kernel of $T_{\mathbf{A}}$ is called the nullity of $\mathbf{A}$. $T_{\mathbf{A}}$ 的核的维度称为 $\mathbf{A}$ 的零度。
• The kernel is a subspace of ${\mathbb{R}}^m$. 核是 ${\mathbb{R}}^m$ 的子空间。

Relationship between Image and Kernel / 值域和核的关系

Rank-Nullity Theorem / 秩-零度定理

For a linear transformation $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$, the sum of the dimension of the image (rank) and the dimension of the kernel (nullity) is equal to the dimension of the domain ${\mathbb{R}}^m$:

对于线性变换 $T_{\mathbf{A}}:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$，值域的维度（秩）和核的维度（零度）的和等于定义域 ${\mathbb{R}}^m$ 的维度：

$$\mathrm{rank}(\mathbf{A})+\mathrm{nullity}(\mathbf{A})=m$$