Geometric Meaning of Linear Algebra Quantities

线性代数量的几何意义 | Geometric Meaning of Linear Algebra Quantities

向量的投影 | Projection of Vectors

向量在另一向量上的投影 | Projection of a Vector onto Another Vector

设有两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，$\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影为：

$${\mathrm{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}$$

其中 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 表示向量的点积。

The projection of vector $\mathbf{a}$ onto vector $\mathbf{b}$ is given by:

$${\mathrm{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}$$

where $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ denotes the dot product of the vectors.

向量在某个平面上的投影 | Projection of a Vector onto a Plane

设 $\mathbf{n}$ 是平面法向量，$\mathbf{a}$ 在平面上的投影 ${\mathbf{a}}_{\text{proj}}$ 为：

$${\mathbf{a}}_{\text{proj}}=\mathbf{a}-{\mathrm{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{a}=\mathbf{a}-\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}}\mathbf{n}$$

Let $\mathbf{n}$ be the normal vector to the plane. The projection of vector $\mathbf{a}$ onto the plane, denoted by ${\mathbf{a}}_{\text{proj}}$, is:

$${\mathbf{a}}_{\text{proj}}=\mathbf{a}-{\mathrm{proj}}_{\mathbf{n}}\mathbf{a}=\mathbf{a}-\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}}\mathbf{n}$$

点线面之间的距离 | Distances Between Points, Lines, and Planes

点到直线的距离 | Distance from a Point to a Line

点 ${\mathbf{P}}_0$ 到直线 $\mathbf{L}:\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{d}$ 的距离为：

$$\text{dist}({\mathbf{P}}_0,\mathbf{L})=\frac{\Vert \mathbf{d}\times ({\mathbf{P}}_0-{\mathbf{r}}_0)\Vert }{\Vert \mathbf{d}\Vert }$$

The distance from point ${\mathbf{P}}_0$ to the line $\mathbf{L}:\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{d}$ is:

$$\text{dist}({\mathbf{P}}_0,\mathbf{L})=\frac{\Vert \mathbf{d}\times ({\mathbf{P}}_0-{\mathbf{r}}_0)\Vert }{\Vert \mathbf{d}\Vert }$$

点到平面的距离 | Distance from a Point to a Plane

点 ${\mathbf{P}}_0$ 到平面 $\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0$ 的距离为：

$$\text{dist}({\mathbf{P}}_0,\text{Plane})=\frac{|\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{P}}_0-{\mathbf{r}}_0)|}{\Vert \mathbf{n}\Vert }$$

The distance from point ${\mathbf{P}}_0$ to the plane $\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0$ is:

$$\text{dist}({\mathbf{P}}_0,\text{Plane})=\frac{|\mathbf{n}\cdot ({\mathbf{P}}_0-{\mathbf{r}}_0)|}{\Vert \mathbf{n}\Vert }$$

两直线之间的距离 | Distance Between Two Skew Lines

对于不相交的直线 ${\mathbf{L}}_1:\mathbf{r}={\mathbf{r}}_1+t{\mathbf{d}}_1$ 和 ${\mathbf{L}}_2:\mathbf{r}={\mathbf{r}}_2+s{\mathbf{d}}_2$，它们之间的距离为：

$$\text{dist}({\mathbf{L}}_1,{\mathbf{L}}_2)=\frac{|({\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1)\cdot ({\mathbf{d}}_1\times {\mathbf{d}}_2)|}{\Vert {\mathbf{d}}_1\times {\mathbf{d}}_2\Vert }$$

For two skew lines ${\mathbf{L}}_1:\mathbf{r}={\mathbf{r}}_1+t{\mathbf{d}}_1$ and ${\mathbf{L}}_2:\mathbf{r}={\mathbf{r}}_2+s{\mathbf{d}}_2$, the distance between them is:

$$\text{dist}({\mathbf{L}}_1,{\mathbf{L}}_2)=\frac{|({\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1)\cdot ({\mathbf{d}}_1\times {\mathbf{d}}_2)|}{\Vert {\mathbf{d}}_1\times {\mathbf{d}}_2\Vert }$$

面积与体积 | Area and Volume

三角形的面积 | Area of a Triangle

给定三角形的顶点 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$，三角形的面积 $\mathrm{Area}$ 为：

$$\mathrm{Area}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{AB}\times \mathbf{AC}\Vert$$

其中，$\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{AC}$ 分别是 $\mathbf{A}$ 到 $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{A}$ 到 $\mathbf{C}$ 的向量。

Given the vertices $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, and $\mathbf{C}$ of a triangle, the area $\mathrm{Area}$ is:

$$\mathrm{Area}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{AB}\times \mathbf{AC}\Vert$$

where $\mathbf{AB}$ and $\mathbf{AC}$ are vectors from $\mathbf{A}$ to $\mathbf{B}$ and $\mathbf{A}$ to $\mathbf{C}$, respectively.

四面体的体积 | Volume of a Tetrahedron

给定四面体的四个顶点 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$, $\mathbf{D}$，体积 $\mathrm{Volume}$ 为：

$$\mathrm{Volume}=\frac{1}{6}|(\mathbf{AB}\times \mathbf{AC})\cdot \mathbf{AD}|$$

其中，$\mathbf{AB}$, $\mathbf{AC}$, $\mathbf{AD}$ 是从 $\mathbf{A}$ 出发到 $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{D}$ 的向量。

Given the vertices $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$, and $\mathbf{D}$ of a tetrahedron, the volume $\mathrm{Volume}$ is:

$$\mathrm{Volume}=\frac{1}{6}|(\mathbf{AB}\times \mathbf{AC})\cdot \mathbf{AD}|$$

where $\mathbf{AB}$, $\mathbf{AC}$, and $\mathbf{AD}$ are vectors from $\mathbf{A}$ to $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$, and $\mathbf{D}$, respectively.

线性变换的几何意义 | Geometric Meaning of Linear Transformations

线性变换对面积的影响 | Effect of Linear Transformation on Area

对于线性变换 $\mathbf{T}$，如果 $\mathbf{T}$ 映射平面上三角形的三个顶点 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$，则变换后三角形的面积 ${\mathrm{Area}}^{\prime }$ 为原面积 $\mathrm{Area}$ 的 $\det (\mathbf{T})$ 倍：

$${\mathrm{Area}}^{\prime }=|\det (\mathbf{T})|\cdot \mathrm{Area}$$

For a linear transformation $\mathbf{T}$, if $\mathbf{T}$ maps the three vertices ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ of a triangle in the plane, the area ${\mathrm{Area}}^{\prime }$ of the transformed triangle is $\det (\mathbf{T})$ times the original area $\mathrm{Area}$:

$${\mathrm{Area}}^{\prime }=|\det (\mathbf{T})|\cdot \mathrm{Area}$$

线性变换对体积的影响 | Effect of Linear Transformation on Volume

对于线性变换 $\mathbf{T}$，如果

$\mathbf{T}$ 映射三维空间中四面体的四个顶点 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4$，则变换后四面体的体积 ${\mathrm{Volume}}^{\prime }$ 为原体积 $\mathrm{Volume}$ 的 $\det (\mathbf{T})$ 倍：

$${\mathrm{Volume}}^{\prime }=|\det (\mathbf{T})|\cdot \mathrm{Volume}$$

For a linear transformation $\mathbf{T}$, if $\mathbf{T}$ maps the four vertices ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_4$ of a tetrahedron in three-dimensional space, the volume ${\mathrm{Volume}}^{\prime }$ of the transformed tetrahedron is $\det (\mathbf{T})$ times the original volume $\mathrm{Volume}$:

$${\mathrm{Volume}}^{\prime }=|\det (\mathbf{T})|\cdot \mathrm{Volume}$$