Eigenvalue & Eigen vector

Eigenvalue & Eigenvector Cheatsheet

1. 定义 (Definitions)

特征值 (Eigenvalue)

特征值 是方阵 $A$ 的一个标量 $\lambda$，使得存在非零向量 $\mathbf{v}$，满足 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$。

Eigenvalue is a scalar $\lambda$ of a square matrix $A$, such that there exists a non-zero vector $\mathbf{v}$ satisfying $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$.

特征向量 (Eigenvector)

特征向量 是方阵 $A$ 的一个非零向量 $\mathbf{v}$，使得存在标量 $\lambda$，满足 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$。

Eigenvector is a non-zero vector $\mathbf{v}$ of a square matrix $A$, such that there exists a scalar $\lambda$ satisfying $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$.

2. 性质 (Properties)

1. 特征值的数量: 方阵 $A$ 的特征值的数量等于矩阵的阶数 $n$。

   The number of eigenvalues of a square matrix $A$ is equal to its order $n$.

2. 特征向量的线性无关性: 对于不同的特征值对应的特征向量是线性无关的。

   Eigenvectors corresponding to different eigenvalues are linearly independent.

3. 特征值的迹和行列式: 矩阵 $A$ 的特征值之和等于矩阵的迹，特征值的乘积等于矩阵的行列式。

   The sum of the eigenvalues of a matrix $A$ equals the trace of the matrix, and the product of the eigenvalues equals the determinant of the matrix.

4. 幂次方性质: 如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 ${\lambda }^k$ 是 $A^k$ 的特征值。

   If $\lambda$ is an eigenvalue of matrix $A$, then ${\lambda }^k$ is an eigenvalue of $A^k$.

5. 特征向量的旋转不变性: 如果 $\mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量，那么对任意标量 $c$， $c\mathbf{v}$ 也是 $A$ 的特征向量。

   If $\mathbf{v}$ is an eigenvector of $A$, then for any scalar $c$, $c\mathbf{v}$ is also an eigenvector of $A$.

3. 计算方法 (Computation Methods)

计算特征值 (Finding Eigenvalues)

1. 特征多项式 (Characteristic Polynomial): 计算 $\text{det}(A-\lambda I)=0$，其中 $I$ 是单位矩阵。解该多项式方程得到特征值 $\lambda$。

   Calculate $\text{det}(A-\lambda I)=0$, where $I$ is the identity matrix. Solve the polynomial equation to find the eigenvalues $\lambda$.

计算特征向量 (Finding Eigenvectors)

1. 求解线性方程组: 对于每个特征值 $\lambda$，求解 $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ 的非零解 $\mathbf{v}$。

   For each eigenvalue $\lambda$, solve $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ for non-zero vector $\mathbf{v}$.

4. 例子 (Examples)

例 1：二维矩阵 (2x2 Matrix)

给定矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$:

1. 计算特征多项式:

   $$\text{det}(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10$$

2. 解方程 $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$:

\lambda = 2, \ 5

3. 对于 $\lambda = 2$:

(A - 2I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow v_1 = -v_2

特征向量为 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。 4. 对于 $\lambda = 5$:

(A - 5I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow v_1 = v_2

特征向量为 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。 ## 5. 常见应用 (Common Applications) 1. **系统稳定性分析 (System Stability Analysis)**: 通过分析系统矩阵的特征值来判断系统的稳定性。 Analyze the stability of a system by examining the eigenvalues of its system matrix. 2. **图像处理 (Image Processing)**: 主成分分析（PCA）用于图像降维和特征提取。 Principal Component Analysis (PCA) is used for image dimensionality reduction and feature extraction. 3. **量子力学 (Quantum Mechanics)**: 特征值和特征向量在薛定谔方程中用于描述量子态。 Eigenvalues and eigenvectors are used in the Schrödinger equation to describe quantum states.