Complex Functions

复变函数 Complex Functions

指数形式 Exponential Form

定义 Definition

复数 $z$ 可以表示为指数形式：

A complex number $z$ can be expressed in exponential form:

$$z=r{e}^{i\theta }$$

其中 $r$ 是模，$\theta$ 是辐角

where r} is the modulus, and \theta$ is the argument

复数的模和辐角 Modulus and Argument of a Complex Number

1. 模 $r$ 计算方法： Modulus $r$ calculation:

$$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

2. 辐角 $\theta$ 计算方法： Argument $\theta$ calculation:

$$\theta =\arg (z)={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

欧拉公式 Euler’s Formula

欧拉公式：

Euler’s formula:

$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$$

利用欧拉公式，复数 $z=r{e}^{i\theta }$ 可以写成：

Using Euler’s formula, a complex number $z=r{e}^{i\theta }$ can be written as:

$$z=r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$$

三角函数和 $a+bi$ 形式的转化 Conversion between Trigonometric and $a+bi$ Forms

复数 $z=r{e}^{i\theta }$ 可以转化为 $a+bi$ 形式：

A complex number $z=r{e}^{i\theta }$ can be converted to $a+bi$ form:

$$a=r\cos (\theta )$$ $$b=r\sin (\theta )$$

因此：

Therefore:

$$z=a+bi=r\cos (\theta )+ir\sin (\theta )$$

复数的实部和虚部 Real and Imaginary Parts of a Complex Number

从指数形式 $z=r{e}^{i\theta }$ 中，实部和虚部的计算方法：

From the exponential form $z=r{e}^{i\theta }$, the real and imaginary parts can be calculated as follows:

$$\Re (z)=r\cos (\theta )$$ $$\Im (z)=r\sin (\theta )$$

复数乘法 Multiplication of Complex Numbers

复数 $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ 和 $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ 相乘：

Multiplication of complex numbers $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ and $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$:

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

复数除法 Division of Complex Numbers

复数 $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ 和 $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ 相除：

Division of complex numbers $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ and $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$$

复数的幂 Powers of Complex Numbers

复数 $z=r{e}^{i\theta }$ 的 $n$ 次幂：

The $n$-th power of a complex number $z=r{e}^{i\theta }$:

$$z^n={\left(r{e}^{i\theta }\right)}^n=r^n{e}^{in\theta }$$

复数的根 Roots of Complex Numbers

复数 $z=r{e}^{i\theta }$ 的 $n$ 次方根：

The $n$-th root of a complex number $z=r{e}^{i\theta }$:

$$z^{1/n}={\left(r{e}^{i\theta }\right)}^{1/n}=r^{1/n}{e}^{i\left(\theta +2k\pi \right)/n}$$

其中 $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1

where $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1

复数的共轭 Conjugate of a Complex Number

复数 $z=r{e}^{i\theta }$ 的共轭 $z^{\ast }$ 是：

The conjugate of a complex number $z=r{e}^{i\theta }$ is:

$$z^{\ast }=r{e}^{-i\theta }$$

共轭性质 Properties of Conjugate

1. 共轭的模不变： The modulus of the conjugate remains the same:

$$|z^{\ast }|=|z|=r$$

2. 共轭的辐角取反： The argument of the conjugate is negated:

$$\arg (z^{\ast })=-\arg (z)$$

3. 共轭运算的可逆性： Conjugation is an involution:

$$(z^{\ast }{)}^{\ast }=z$$

4. 加法中的共轭： Conjugate in addition:

$$(z_1+z_2{)}^{\ast }=z_1^{\ast }+z_2^{\ast }$$

5. 乘法中的共轭： Conjugate in multiplication:

$$(z_1{z}_2{)}^{\ast }=z_1^{\ast }{z}_2^{\ast }$$

6. 商的共轭： Conjugate of a quotient:

$${\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^{\ast }=\frac{z_1^{\ast }}{z_2^{\ast }}$$

共轭的应用 Applications of Conjugate

1. 计算复数的模： Calculate the modulus of a complex number:

$$|z|=\sqrt{z{z}^{\ast }}$$

2. 求复数的实部和虚部： Find the real and imaginary parts of a complex number:

$$\Re (z)=\frac{z+z^{\ast }}{2}$$ $$\Im (z)=\frac{z-z^{\ast }}{2i}$$

常见问题及注意事项 Common Issues and Tips

1. 计算辐角时，注意区分象限，使用 ${\tan }^{-1}$ 的正确象限 When calculating the argument, be careful to distinguish the quadrant and use the correct quadrant for ${\tan }^{-1}$

2. 辐角范围通常取 $(-\pi ,\pi ]$ 或 $[0,2\pi )$ The argument range is usually taken as $(-\pi ,\pi ]$ or $[0,2\pi )$

3. 复数的指数形式运算在处理乘法、除法和求幂时尤其方便 The exponential form of complex numbers is especially convenient for multiplication, division, and exponentiation

复数的根和单位根 Roots and Roots of Unity

复数 $z$ 的 $n$ 次方根是使 $z^n=1$ 的所有复数。

The $n$-th roots of unity are all complex numbers such that $z^n=1$.

这些根可以表示为：

These roots can be expressed as:

$${\omega }_k=e^{i\frac{2k\pi }{n}},k=0,1,2,\dots ,n-1$$

单位根的性质 Properties of Roots of Unity

1. 单位根的和为零： The sum of the $n$-th roots of unity is zero:

$$\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=0$$

2. 单位根是等间隔分布在单位圆上的点： The roots of unity are equally spaced points on the unit circle in the complex plane.

3. 单位根满足 ${\omega }_k^n=1$： Each root of unity satisfies ${\omega }_k^n=1$.

单位根的应用 Applications of Roots of Unity

单位根在傅里叶变换和数值分析中有广泛应用。

Roots of unity have wide applications in Fourier transforms and numerical analysis.