反常积分 Improper Integrals
定义 Definition
反常积分的分类 Types of Improper Integrals
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无穷区间上的反常积分 Improper Integrals over Infinite Intervals
对于函数 在区间 上的积分，如果极限存在，则称其为反常积分，并定义为
\int_{-\infty}^b f(x) , dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) , dx
对于 $(-\infty, +\infty)$ 上的积分，如果两个极限都存在，则定义为\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x) , dx + \lim_{b \to +\infty} \int_c^b f(x) , dx
其中 $c$ 是任意常数 2. **无界函数的反常积分 Improper Integrals of Unbounded Functions** 对于在 $[a, b)$ 上的函数 $f(x)$，如果 $f(x)$ 在 $b$ 处趋于无穷，且极限存在，则定义为\int_a^b f(x) , dx = \lim_{c \to b^-} \int_a^c f(x) , dx
类似地，对于在 $(a, b]$ 上的函数 $f(x)$，如果 $f(x)$ 在 $a$ 处趋于无穷，且极限存在，则定义为\int_a^b f(x) , dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) , dx
## 收敛性 Convergence ### 判别法 Criteria for Convergence 1. **比较判别法 Comparison Test** 如果 $0 \leq f(x) \leq g(x)$ 对于 $x \geq a$ 恒成立，且\int_a^{+\infty} g(x) , dx
\int_a^{+\infty} f(x) , dx
也收敛 2. **极限比较判别法 Limit Comparison Test** 如果 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L$，其中 $0 < L < +\infty$，且\int_a^{+\infty} g(x) , dx
\int_a^{+\infty} f(x) , dx
也收敛 3. **积分判别法 Integral Test** 若 $f(x)$ 为正的、在 $[a, +\infty)$ 上单调递减的函数，则\sum_{n=a}^{+\infty} f(n)
\int_a^{+\infty} f(x) , dx
收敛 ### 常见反常积分的收敛性 Convergence of Common Improper Integrals 1. **广义 $p$-积分 Generalized p-Integrals**\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} , dx
当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散 2. **指数积分 Exponential Integrals**\int_0^{+\infty} e^{-ax} , dx
当 $a > 0$ 时收敛 ## 计算方法 Techniques for Calculation 1. **分部积分法 Integration by Parts** 对于 $u(x)v'(x)$，使用分部积分法\int u(x) v’(x) , dx = u(x)v(x) - \int u’(x)v(x) , dx
\int f(g(x)) g’(x) , dx = \int f(u) , du
3. **解析法 Analytical Methods** 对于某些反常积分，可以使用解析方法计算，如使用特殊函数的性质或傅里叶变换等 ### 特殊积分 Special Integrals 1. **拉普拉斯变换 Laplace Transform**\mathcal{L}{f(t)} = \int_0^{+\infty} e^{-st} f(t) , dt
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^s} , dx
用于解析数论和复分析中的许多问题 ### 容易混淆的点 Common Pitfalls 1. **反常积分的存在性和收敛性** 反常积分存在不代表它收敛，必须检查极限是否存在 2. **区间端点的处理** 对于无界区间或无界函数的积分，必须注意在端点处的极限是否存在 3. **不同类型反常积分的区别** 无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分处理方法不同，需要区分对待 ## 总结 Summary 反常积分是处理无穷区间或无界函数积分的重要工具，通过合理的定义和判别方法，可以确定其收敛性并进行计算。掌握反常积分的基本概念和计算技巧，对于解决许多数学和物理问题至关重要