情理数学考点重难点大纲
1. 线性代数
1.1 矩阵理论
- 基本运算 (加减乘除、转置、求逆)
- 行列式计算及性质
- 矩阵的秩
- 矩阵方程
1.2 矩阵分解
- 特征值和特征向量
- 特征分解
- 奇异值分解 (SVD)
- QR 分解
- LU 分解
1.3 向量空间
- 线性相关性和线性无关性
- 基和维数
- 子空间 (核空间和像空间)
1.4 投影和伪逆
- 正交投影
- 斜投影
- Moore-Penrose 伪逆
- 最小二乘问题
1.5 复矩阵
- 复数运算
- Hermit 矩阵
- 酉矩阵
1.6 矩阵函数
- 矩阵指数
- 矩阵幂
- 幂矩阵
1.7 高级主题
- Cayley-Hamilton 定理
- Jordan 标准型
- Rayleigh 商
- Hessian 矩阵
- Jacobi 行列式
1.8 矩阵微分
- 矩阵求导基本法则
- 矩阵微分在凸优化问题中的应用
1.9 特殊矩阵
- 正定矩阵
- 对称矩阵
- 正交矩阵
重点难点:
- 投影和伪逆 (频繁考察)
- 矩阵指数相关知识
- 复矩阵运算
- 矩阵微分
- 高级主题 (如 Cayley-Hamilton 定理) 的应用
2. 解析 (微积分 + 常微分方程)
2.1 微积分基础
- 极限和连续性
- 导数和微分
- 积分 (定积分和不定积分)
- 级数和收敛性
2.2 多元微积分
- 偏导数
- 方向导数和梯度
- 多重积分
- 向量分析 (散度、旋度、梯度)
2.3 常微分方程 (ODE)
- 一阶线性方程
- Bernoulli 方程
- Riccati 方程
- 全微分方程
- Clairaut 方程
- 二阶齐次常系数方程
- 二阶非齐次方程
- 高阶线性方程
2.4 ODE 求解技巧
- 分离变量法
- 积分因子法
- 常数变易法
- 特解叠加原理
2.5 高级 ODE 技巧
- 平移变换
- 欧拉代换
- 伯努利方程的代换方法
- 幂级数法 (了解)
- 拉普拉斯变换 (选学)
2.6 偏微分方程基础
- 分类 (椭圆型、抛物型、双曲型)
- 基本求解方法
2.7 变分法
- 变分问题的基本概念
- Euler-Lagrange 方程
重点难点:
- ODE 的综合应用题
- 全微分方程和 Clairaut 方程
- 高阶 ODE 的求解
- 变分法问题
- 偏微分方程转化为 ODE 的技巧
3. 概率论
3.1 基础概率理论
- 概率公理和性质
- 条件概率
- 全概率公式和贝叶斯定理
- 随机变量的独立性
3.2 离散概率分布
- 伯努利分布和二项分布
- 泊松分布
- 几何分布和负二项分布
- 超几何分布
- 离散均匀分布
3.3 连续概率分布
- 均匀分布
- 指数分布
- 正态分布
- Gamma 分布和 Beta 分布
3.4 随机变量的数字特征
- 期望和方差
- 矩、偏度和峰度
- 协方差和相关系数
3.5 多维随机变量
- 联合分布
- 边缘分布
- 条件分布
- 多维正态分布
3.6 随机变量的函数
- 和、差、积、商的分布
- 卷积
3.7 条件期望和全期望公式
- 条件期望的定义和性质
- 全期望公式及应用
3.8 生成函数
- 概率生成函数
- 矩生成函数
- 特征函数
3.9 极限定理
- 大数定律
- 中心极限定理
3.10 随机过程基础
- 马尔可夫链
- 泊松过程
3.11 组合数学和离散数学
- 排列组合
- 生成函数 (母函数)
- 递推关系